初等函数

一、定义

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合运算所构成的函数类。

二、基本初等函数

（一）常数函数

• 定义：形如y=C（C为常数）的函数，无论x取何值，对应的函数值都是常数C。

• 图像：在平面直角坐标系中，常数函数的图像是平行于 x 轴的直线。

（二）幂函数

• 定义：形如y=x^a（a为常数）的函数。其中，x是自变量，a是指数。

• 图像：幂函数的图像因指数a的不同而有较大差异。例如，当a=1时，图像是一条过原点且斜率为 1 的直线；当a=2时，图像是开口向上的抛物线。

（三）指数函数

• 定义：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数。其中，a是底数，x是指数。

• 图像：指数函数的图像恒过点(0,1)，当底数a>1时，函数单调递增；当底数0

（四）对数函数

• 定义：形如y=log_a x（a>0且a≠1）的函数。其中，a是底数，x是真数。

• 图像：对数函数的图像恒过点(1,0)，当底数a>1时，函数单调递增；当底数0

（五）三角函数

• 正弦函数：y=sinx，图像为波浪形曲线，周期为2Π，在[-1,1]之间波动。

• 余弦函数：y=cosx，图像与正弦函数图像形状相同，只是在 x 轴上的位置有所不同，周期也是2Π。

•正切函数：y=tanx，图像由无数支曲线组成，分别位于[-Π/2+kΠ,Π/2+kΠ],（k为整数）区间内，且关于原点对称。

（六）反三角函数

• 反正弦函数：y=arcsinx，定义域为[-1,1]，值域为[-Π/2,Π/2]，图像是正弦曲线在[-Π/2,Π/2]上的反函数图像。

• 反余弦函数：y=arccosx，定义域为[-1,1]，值域为[0,Π]，图像是余弦曲线在[0,Π]上的反函数图像。

• 反正切函数：y=arctanx，定义域为全体实数，值域为(-Π/2,Π/2)，图像是正切曲线在(-Π/2,Π/2)上的反函数图像。

三、初等函数的形成

（一）四则运算

• 加法：两个函数f(x)和g(x)相加，得到新的函数h(x)=f(x)+g(x)。

• 减法：两个函数f(x)和g(x)相减，得到新的函数h(x)=f(x)-g(x)。

• 乘法：两个函数f(x)和g(x)相乘，得到新的函数h(x)=f(x)g(x)。

• 除法：两个函数f(x)和g(x)相除，得到新的函数h(x)=f(x)/g(x)，其中g(x)≠0。

（二）复合运算

• 复合函数：设函数y=f(u)，而u又是x的函数，即u=g(x)，并且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则y可以表示为x的函数，记作y=fg(x)，这样的函数称为复合函数。

三、初等函数示例

• 多项式函数：形如y=a_n x^n+a{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0，由常数函数和幂函数经过加法和乘法运算得到。

• 有理函数：形如y=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，由多项式函数经过除法运算得到。

• 指数复合函数：形如y=a^g(x)，由指数函数和另一个函数g(x)复合而成。

• 对数复合函数：形如y=log_a g(x)，由对数函数和另一个函数g(x)复合而成。

• 三角复合函数：例如y=sin(g(x))，由三角函数和另一个函数g(x)复合而成。

初等函数在数学、物理、工程等众多领域都有广泛的应用，是研究其他复杂函数的基础。