复合函数

一、定义

如果y是u的函数，记为=f(u),u又是x的函数，记作u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则确定一个y关于x的函数y=f(g(x)),这时y叫做x复合函数,其中u叫做中间变量，y=f(u)叫做外层函数，u=g(x)叫做内层函数。其中x称为自变量，g为中间变量，f为因变量(即函数)。

二、性质

（1）单调性

同增异减：如果函数y = f(u)和u = g(x)在各自定义域内单调性相同，那么复合函数y = f(g(x))为增函数；若单调性相反，则复合函数y = f(g(x))为减函数。

（2）奇偶性

奇奇得奇：若y = f(u)是奇函数，u = g(x)是奇函数，则复合函数y = f(g(x))是奇函数。

偶奇得偶：若y = f(u)是偶函数，u = g(x)是奇函数，则复合函数y = f(g(x))是偶函数。

偶偶得偶：若y = f(u)是偶函数，u = g(x)是偶函数，则复合函数y = f(g(x))是偶函数。

（3）周期性

若g(x)是周期函数，设周期为T1，y = f(u)中u = g(x)的取值范围对应的函数f(u)也是周期函数，设周期为T2，则复合函数y = f(g(x))可能是周期函数，其周期通常与T1和T2有关。

三、判断复合函数的单调性

⑴求复合函数的定义域；

⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；

⑶判断每个常见函数的单调性；

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

⑸求出复合函数的单调性。

四、复合函数的求导方法

(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；

(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系。

(3)根据基本函数的导数公式，及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数。

(4)复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出求导过程。